Auteurs : Aimé Nlend et Mamadou Sow
Dans ce blog, nous allons nous intéresser aux calculs d'annuités en assurance-vie. Nous ne traiterons pas le cas des annuités viagères continues. À la fin du blog, une série d'exercices vous sera proposée.
Qu'est-ce qu'une assurance ? 🤔
L'assurance est un service essentiel qui offre une indemnisation en cas de survenance d'un événement incertain et aléatoire. Cette forme d'indemnisation, généralement de nature financière, est destinée à un individu, une association ou une entreprise, en échange du paiement d'une cotisation ou d'une prime.
Lorsque vous décidez de souscrire à une assurance, cela implique le versement d'une somme d'argent appelée "prime" à la compagnie d'assurance de votre choix. En cas de survenance d'un sinistre couvert par la police d'assurance, l'assureur utilise les primes collectées pour indemniser les dommages financiers subis par l'assuré. Il est important de noter que le montant versé à la partie lésée ne peut généralement pas dépasser un plafond préalablement convenu dans le contrat.
Pour être en mesure de fournir une couverture d'assurance efficace, l'assureur doit être capable de prévoir le montant futur qu'il devra verser à ses assurés en cas de sinistre. Pour ce faire, les compagnies d'assurance utilisent des techniques actuarielles avancées qui reposent sur des calculs de probabilités. Ces méthodes permettent aux assureurs d'évaluer les risques et de déterminer les primes appropriées à facturer aux assurés.
Les assurances sont couramment classées en deux catégories principales :
Assurance Dommage : Elle couvre les pertes financières résultant de dommages matériels ou de pertes tangibles, tels que les accidents automobiles, les incendies et les catastrophes naturelles.
Assurance de Personnes : Cette catégorie englobe les assurances qui sont liées à la vie et à la santé des individus, telles que l'assurance-vie, l'assurance maladie et l'assurance invalidité.
Si l’on se réfère à la classification proposée par l’article R321-1, on regroupe sous la branche Assurance Vie et Capitalisation :
Opérations en Assurance-Vie
En ce qui concerne l'assurance-vie, il existe trois types d'opérations courantes :
Opérations en Cas de Décès : dont l’objet est de garantir le paiement d’un capital en cas de décès, soit à n’importe quel moment (vie entière) soit avant une certaine date (temporaire).
Opérations en Cas de Vie : qui garantissent le paiement d’un capital ou le service d’une rente, si l’assuré vit encore à un terme fixé à l’avance (capital différé, rente viagère).
Opérations Mixtes : solution intermédiaire dans laquelle la société s’engage à payer un capital au terme du contrat, si l’assuré est vivant ou dès le décès de l’assuré, s’il survient avant le terme du contrat.
Dans ce blog, nous nous concentrerons exclusivement sur les opérations en cas de vie.
Qu'est-ce qu'une table de mortalité ? 🤔
Les opérations d'assurance sont intrinsèquement liées à la durée de vie humaine. Pour évaluer les risques liés à la mortalité, il est essentiel d'étudier la probabilité de décès au sein de la population assurée. Les actuaires jouent un rôle clé dans cette évaluation en utilisant des tables de mortalité construites à partir de données historiques. Ces tables sont régulièrement mises à jour par des actuaires expérimentés.
Plusieurs facteurs influencent la mortalité, parmi lesquels :
L'Âge : Il est bien connu que le risque de décès augmente avec l'âge. En d'autres termes, les chances de décéder à 120 ans sont bien plus élevées que celles à 20 ans.
Le Sexe : Les statistiques montrent que les femmes ont tendance à vivre plus longtemps que les hommes en moyenne.
Le Mode de Vie : Le style de vie, notamment les habitudes alimentaires, l'exercice physique et les comportements liés à la santé, peut avoir un impact significatif sur la mortalité.
Le Pays de Résidence : Les taux de mortalité varient considérablement d'un pays à l'autre en raison des différences dans les soins de santé, l'environnement, les facteurs socio-économiques, etc.
Catégorie Socio-Professionnelle (CSP) : La CSP peut également jouer un rôle, car les conditions de travail et les niveaux de revenus peuvent affecter la santé et la durée de vie.
Fumeur / Non-Fumeur : Le tabagisme est un facteur de risque majeur pour de nombreuses maladies graves, ce qui en fait un élément important pour les calculs actuariels.
Les tables de mortalités les plus couramment utilisées sont :
Tables TGF05 et TGH05
(Tables par génération. Elles comprennent en fait autant de tables de mortalité qu’il y a d’années de naissance comprises entre 1886 et 2005). Il s’agit des tables réglementaires pour les opérations de rentes viagères.
Les assureurs peuvent par ailleurs utiliser des tables d’expérience établies à partir de leur portefeuille d’assurés et certifiées par un actuaire indépendant agréé à cet effet.
Tables TH00-02 et TF00-02
Construites à partir de la table INSEE 2000-2002 – respectivement pour la population masculine et pour la population féminine, il s’agit des tables réglementaires pour les contrats d’assurance vie (sauf rentes viagères).
Mises en place chaque année par l’INSEE à partir de l’enregistrement des décès à l’état civil. Ce sont ces tables qui sont la plupart du temps utilisées par les cabinets d’actuaires pour évaluer les engagements sociaux de type « indemnités de fin de carrière » ou « médailles du travail » des entreprises. Pour les engagements plus « longs » tels que les régimes de retraite, ils utilisent en général des tables par génération du type de celles ci-dessus.
Exemple de table de mortalité :
Une table de mortalité est donc généralement constituée d’un âge et pour chaque âge d’un effectif. Les effectifs correspondent au nombre d’assurés encore vivant à un âge donné.
X | l_x |
0 ans | 100000 |
2 ans | 99380 |
3 ans | 99239 |
4 ans | 99060 |
5 ans | 98870 |
6 ans | 98654 |
7 ans | 98479 |
8 ans | 98268 |
Dans cette table, il reste 98479 personnes à l’âge 7 et 98268 à l’âge 8. il y a donc 211 décès entre 7 et 8 ans.
Mathématique des assurances de personnes
Assurance en cas de vie :
Notations 💡
Capital différé
L’assureur s’engage à verser un certain capital C(=1€) à l’âge x+k de l’assuré, s’il est encore vivant. Le contrat est souscrit à l’âge x.
La valeur actuelle probable (ou la prime unique pure) à la souscription de ce contrat, est égale à :
Les annuités viagères à termes constants
Les annuités viagères correspondent aux versements d’un montant tant que l’assuré est vivant. Les montants sont ici constants et sont versés annuellement.
Les annuités peuvent avoir plusieurs caractéristiques :
A termes échus / à terme d’avance
Immédiates / différées
Temporaires ou non
Annuités viagères à termes annuels échus Immédiates et illimitées
L’assureur verse un capital de 1€, en fin de chaque année, tant que l’assuré est vivant.
Pour faire face à ses engagements, l’assureur doit recevoir à la souscription, la prime unique pure suivante :
Annuités viagères à termes annuels échus Immédiates et temporaires de n années
Pour faire face à ses engagements, l’assureur doit recevoir à la souscription, la prime unique pure suivante :
Annuités viagères à termes annuels échus différés de k années et illimités
Pour faire face à ses engagements, l’assureur doit recevoir à la souscription, la prime unique suivante :
Annuités viagères à termes annuels échus différés de k années puis temporaire de n année(s)
Pour faire face à ses engagements, l’assureur doit recevoir à la souscription, la prime unique suivante :
Annuités viagères fractionnées
Dans les annuités précédentes, le paiement des flux était annuel. Nous présentons ici des annuités fractionnées, c’est-à-dire avec des paiements de flux pouvant être mensuels, trimestriels, semestriels ou annuels (= cas précédent). On note m le fractionnement des flux et on prend la convention suivante :
Si m=12, le fractionnement est mensuel Si m=4, le fractionnement est trimestriel Si m=2, le fractionnement est semestriel Si m=1, le fractionnement est annuel
Annuités viagères à termes fractionnés échus immédiates et illimitées
L’assureur s’engage à verser un montant R = 1/m à chaque fin de période m à l’assuré si celui-ci est encore vivant (l’âge à la souscription étant noté x).
Pour faire face à ses engagements, l’assureur doit recevoir à la souscription, la prime unique pure suivante :
Annuités viagères à termes fractionnés échus différés de k années puis illimitées
L’assureur s’engage à verser après k années de différé un montant R = 1/m à chaque fin de période m à l’assuré si celui-ci est encore vivant (l’âge à la souscription étant noté x).
Annuités viagères à termes fractionnés échus immédiates et temporaires de n années
L’assureur s’engage à verser pendant n années un montant R = 1/m à chaque fin de période m à l’assuré si celui-ci est encore vivant (l’âge à la souscription étant noté x).
En partant de la relation suivante :
On obtient,
Par conséquent :
Annuités viagères à termes fractionnés échus différés de k années pendant n années
L’assureur s’engage à verser après k années et pendant les n années suivantes un montant R = 1/m à chaque fin de période m à l’assuré tant que celui-ci est vivant (l’âge à la souscription étant noté x).
EXERCICES ✌️✌️
Bibliographie
1- Alain Moeglin, Mathématiques des Assurances de
personnes , CABINET MOEGLIN
2- EURIA, 2021, Cours Mathématiques des assurances de personnes
3- https://www.spac-actuaires.fr/lexique/table-de-mortalite/
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